Makalah siklik koset teorema lagrange

KATA PENGANTAR

ﺒﺴﻢ ﷲ ﺍﻟﺮﺤﻤﻦ ﺍﻟﺮﺤﻴﻢ

Puji syukur kita panjatkan atas kehadirat Allah SWT. Yang telah memberikan karunia serta nikmatnya kepada kita semua. Shalawat serta salam kepada Nabi Muhammad SAW. Serta keluarga dan para sahabat serta pengikutnya.

            Isi makalah ini bertujuan untuk memenuhi tugas  mata kuliah Struktur Aljabar. Dalam makalah ini kami akan membahas mengenai  “ Grup Siklik, Koset dan Teorema Lagrange”.  Harapan saya dengan tersusunnya makalah ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan Mahasiswa/Mahasiswi Prodi Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Universitas Muhammadiyah Jakarta.

            Kami mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah banyak membantu dalam penyusunan makalah ini khususnya kepada Bpk Yogi  selaku Dosen mata kuliah Struktur Aljabar. Kami sadar penyusunan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu Kami mengharapkan kritik dan sarannya.

Bekasi, 09  Januari  2015

                                                                                                                                       Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar …………………………....………....................…..…..1

Daftar Isi…………………..…….....……...................…..........................2

BAB I         Pendahuluan

A.      Latar belakang ……………………………………………………....…………....3

B.      Rumusan masalah..................................................................................................3

C.      Tujuan penulisan …………………………………………………………...….....4

D.      Manfaat.................................................................................................................4

BAB II       Pembahasan

A.    Grup Siklik

1.      Pengertian Grup Siklik...........……………….....................................………5

2.      Menentukan Pembangun Grup Siklik........................................………….....5

3.      Teorema, Lemma, dan Akibat yang Berkaitan dengan Grup Siklik...............6

B.     Koset

1.      Pengertian Koset.............................................................................................8

2.      Sifa-Sifat Koset...............................................................................................12

C.     Teorema Lagrange................................................................................................14

BAB III 

 Kesimpulan …………………………………………………………………….....…16

 Saran ……………………………………………………………………….....……..16

Daftar Pustaka …………………………………………………….................17

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melakukan perhitungan-perhitungan, seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perkalian matriks, penjumlahan matriks, dan sebagainya. Operasi-operasi tersebut dilakukan dalam suatu himpunan, seperti himpunan semua bilangan bulat, himpunan semua bilangan real, himpunan semua matriks 2x2 atas bilangan real, dan sebagainya.

Struktur Aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan      suatu operasi biner. Teori grup dan sering merupakan konsep yang memegang peranan penting dalam struktur aljabar karena dapat membentuk suatu konsep baru yang disebut modul.

Gagasan utama dalam mempelajari Struktur Aljabar adalah salah satunya mengenai “Koset”. Namun, sekarang ini masih banyak yang belum memahami koset secara sepenuhnya termasuk dalam meninjau dari berbagai aspek, sehingga kaitan antara Defenisi, Teorema, dan penggunaannya dalam menyelesaikan masalah belum nampak jelas.

 Oleh karena itu, kami mencoba membahas secara lebih mendalam mengenai “ Grup Siklik, Koset dan Teorema Lagrange” yang disertai dengan pembuktian dan contoh dari beberapa teorema agar dapat lebih mudah mengetahui konsep yang dikandung dalam teorema tersebut.

B.     Rumusan Masalah

Dengan memperhatikan latar belakang di atas, penulis dapat merumuskan masalah pada makalah ini dengan pertanyaan sebagai berikut :

1.      Apakah ada grup abelian yang bukan grup siklik?

2.      Apakah setiap subgrup dari suatu grup siklik selalu merupakan grup siklik?

3.      Bagaimanakah pemahaman mengenai koset?

4.      Sejauhmanakah keterkaitan koset dengan teorema lagrange?

C.     Tujuan

Makalah ini di susun dengan tujuan :

1.      Untuk mengetahui pemahaman mengenai grup siklik

2.      Mengetahui  pengertian koset

3.      Untuk mengetahui pemahaman mengenai koset

4.      Untuk memahami keterkaitan koset dengan teoreme lagrange.   

5.      Mengetahui pengertian teorema lagrange

D.    Manfaat

Adapun manfaat dari makalah yang kami buat adalah sebagai berikut.

1.      Dapat memahami mengenai grup siklik.

2.      Dapat memahami mengenai koset.

3.      Dapat memahami keterkaitan koset dengan teorema lagrange.

4.      Dapat memahami keterkaitan koset dengan subgroup normal.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    GRUP SIKLIK

1.      Pengertian Grup Siklik

Grup Siklik adalah suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan dari setiap unsur tetap pada grup tersebut. Dari sini dapat kita definisikan anggota grup siklik, yaitu :

·         Terhadap perkalian

Grup  (G,  .)  disebut  siklik,  bila  ada  elemen  a  ∈  G  sedemikian  hingga

G ={aⁿ| n ∈ Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Dinotasikan <a> = H

·         Terhadap penjumlahan

Grup  (G,+)  disebut  siklik,  bila  ada  elemen  a  ∈  G  sedemikian  hingga G={na | n ∈ Z}.

Jadi, dalam bahasa indonesianya, grup siklik adalah  suatu  orde  dari suatu  grup  yang  setiap  unsurnya  dapat  ditulis  sebagai  perpangkatan (positif  atau  negetif)  atau  perkalian dari    suatu  unsur  tetap  dari  Grup tersebut, dengan kata lain grup siklik adalah grup yang dibangun oleh satu unsur.

Ø  Jika G grup dan a   G maka:

·         |a| infinite  semua pangkat yang berbeda dari a menunjukkan elemen yang berbeda dari G.

·         |a|=n  <a>= {e,a¹, a²,a³,…a^n-1} dan aⁱ=a^j jika dan hanya jika i=j

2.      Menentukan Pembangun Grup Siklik

Mari kita perhatikan contoh berikut

Contoh 1

Misalkan pada Z₄ terhadap operasi perkalian dimana anggotanya adalah 0, 1, 2, 3. Kita dapatkan

<1> = {0, 1, 2, 3}

<2> = {0, 2}

<3> = {0, 1, 2, 3}

Jadi pembangunnya adlah 1 dan 3, sedangkan 0 adalah subgrup trivial dan Z₄ sendiri subgrup sejati (telah dibahas sebelumnya pada pokok bahasan grup).

Contoh 2

Misalkan pada Z₅ terhadap operasi perkalian dimana anggotanya adalah 0, 1, 2, 3, 4 Kita dapatkan

<1> = {0, 1,2 ,3 ,4, 5}

<2> = {0, 1,2 ,3 ,4, 5}

<3> = {0, 1,2 ,3 ,4, 5}

<4> = {0, 1,2 ,3 ,4, 5}

Jadi pembangunnya adlah 1, 2, 3 dan 4, sedangkan 0 adadalah subgrup trivial dan Z₅ sendiri subgrup sejati (telah dibahas sebelumnya pada pokok bahasan grup).

Dari kedua contah diatas, dapat disimpulkan bahwa tidak semua anggota dari Grup Siklik itu dapat dikatakan sebagai pembangunnya.

3.      Teorema, Lemma, dan Akibat yang Berkaitan dengan Grup Siklik

v  Teorema 1

·         Setiap Grup Siklik adalah Abelian.

Bukti :

Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={aⁿ| n ∈ Z}. Ambil x, y ∈ G, sehingga x = am dan y = an, untuk m, n ∈ Z. x . y      = a^m . aⁿ = a^m+n = a^n+m = aⁿ. a^m = y . x Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.

Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n ∈ Z}. Ambil x, y ∈ G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n ∈ Z. x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y + x

Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.

Lemma 1 (Algoritma Pembagian di Z)

Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara tunggal bilangan bulat q dan r sehingga n = mq + r  dan 0  r < m

v  Teorema 2

·         Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik

Akibat 1:

Subgrup-subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat.

v  Teorema 3

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dinangun oleh a. Misalkan bG, dan misalkan b=a^s. Maka b membangun subgrup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.

Akibat 2:

Jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah a^r dimana r dan n relatif prim, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar (pst) dari n dan r adalah 1.

Kita dapat memanfaatkan teorema, lemma, dan akibat di atas untuk mempermudah mencari pembangun, subgrup, dan membuat diagram lattice dari grup siklik

Contoh

Mari kita temukan pembangun, subgrup, dan membuat diagram lattice dari Z₈ terhadap operasi perkalian.

·         Kita ketahui anggota dari Z₈ adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

·         Sehingga pembangun dari Z₈ adalah 1, 3, 5, 7 (karena pembagi sekutu terbesar  dari (1,8), (3,8), (5,8), (7,8) adalah 1)

·         Kemudian kita akan mencari semua subgrup yang sejati dan tak trivial, kita mulai dari 2

·         <2> = {0, 2, 4, 6} adalah subgrup yang berorder 4, memiliki pembangun yang berbentuk h2, dimana h relatif prim dengan 4, yakni h = 3, sehingga h2 = 6.

·         Elemen 4 <2> membangun {0, 4}.

·         Setelah kita dapatkan subgrup dari Z₈, maka kita dapat membuat diagram latticenya

B.     KOSET

1.     Pengertian Koset

Jika H suatu subgrup dari grup (G;o) dan a ϵ G maka Ha = {h.a | h ϵ H} disebut koset kanan dari H dalam G, sedangkan aH = {a.H | h ϵ H} disebut koset kiri dari H dalam G.

Subgrup dapat dinyatakan dengan H atau S atau huruf yang lain. Dalam contoh berikut H dan S dua-duanya muncul tetapi dalam pembahasan koset selanjutnya akan digunakan S.

Apabila (G, +) merupakan grup, dan S subgrup dari G, maka  aS = {a+ s|s ϵ S} dan Sa = {s + a | s ϵ S} apabila (G, x) grup dan S subgrup dari G makaaS = {a x s | s ϵ S} dan Sa = {s x a | s ϵ S} Secara umum a.s ditulis as dan s.a ditulis sa

Contoh 1.

·         Misalnya G = {...., -2, -1, 0, 1, 2, .... } sedangkan (G, +) merupakan grup.

·         Misalnya S = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, ....}

·         Maka     S2 = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ....} adalah koset kanan dari s

        S3 = {..., -3, 0, 3, 6, 9, ....} adalah koset kanan dari s

  1S = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...} adalah koset kiri dari s.

Contoh 2.

Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat. Maka B dengan operasi penjumlahan merupakan suatu grup. H₅ adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5. Maka H₅ dengan operasi penjumlahan juga merupakan semua suatu grup. H₅  B, jadi H₅ merupakan subgrup dari B.

Koset kanan di mana H₅ dalam B untuk 4 ϵ B adalah H₅4

B  = { ....., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

H₅ = {....., -10, -5, 0, 5, 10, ...}

H₅4= {h + 4 | h ϵ H₅  H₅4 = {...., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

3H₅ = {3 + h | h ϵ H₅}  3H₅ = {...., -7, -2, 3, 8, 13, ...}

3H₅ koset kiri dari H₅ dalam B

Contoh 3

carilah semua koset dari 4Z ≤ 2Z
di mana Z = {.....-2, -1, 0, 1, 2.......}
maka 2Z = {.....,-4, -2, 0, 2, 4,........} dan 4Z ={......-8, -4, 0, 4, 8............} karena yang akan dicari adalah  4Z ≤ 2Z maka yang akan jadi grup adalah 2Z  dan untuk pencarian koset yang digunakan adalah elemen dari 2Z yaitu  {........-4 ,-2, 0, 2, 4..........}.
Koset kanan
4Z + 0 = {.......-8, -4, 0, 4, 8........}
4Z + 2 = {.........-6, -2,2,6, 10.......}
4Z + 4 = {........-4, 0, 4, 8..............}
Koset kiri
0 + 4Z = {.......-8, -4, 0, 4, 8........}
2 + 4Z = {.........-6, -2,2,6, 10.......}
4 + 4Z = {........-4, 0, 4, 8..............}
         Jadi kosetnya adalah 4Z+ 0, 4Z+2, 0+4Z,2+4Z. Hal ini terjadi karena pada koset 0+4Z dan 4+4Z terjadi pengulangan sehingga dapat dianggap sama, begitu juga pada koset kirinya

Contoh 4

Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakan Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G. Penyelesaian :

 (G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3

o   Koset kiri :    0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}

            1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}

                                                            2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}

                                                           3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}

o   Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}

                                                            H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}

                                                            H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}

                                                            H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}

o   Sehingga :    0 + H = H + 0= {0,2}

                                                          1 + H = H + 1= {1,3}

                                                          2 + H = H + 2 = {0,2}

3        + H = H + 3 = {1,3}

                                         Maka koset kiri = koset kanan

Contoh 5

Misalnya: G = {i, a, b, c, d, e } sedangkan (G, o) adalah grup dengan

i = (1) (2) (3),  a = (1 2 3) ,  b = ( 1 3 2 ),             c = (2 3),  d = (1 3), dan e = (12)

o   adalah perkalian permutasi

Hasil kali anggota G disajikan dalam tabel berikut ini

O	A	b	C	D	E
I	I	a	B	D	E
A	A	b	I	C	D
B	B	i	A	E	C
C	C	d	E	A	B
D	D	e	C	I	A
E	E	c	D	B	I

Subgrup dari G adalah {i, a, b}, {i, c}, {i, d}, {i, e}

v  Misalnya S ={i, c}

Koset kanan dari S dalam G adalah

Si ={i, c}                          Sc ={c, i}

Sa ={ia, ca} = {a, d}                   Sd ={id, cd} = {d, a}

Sb = {ib, cb} = {b, e}                  Se = {ie, ce} = {e, b}

Koset kiri dari S dalam G adalah

iS= {i, c}                          cS = {c, i}

aS= {ai, ac} = {a, e}                    dS= {di, de} = {d, b}

bS= {bi, bc} = {b, d}                  eS= {ei, ec} = {e, a}

     Perhatikan lagi definisi koset, misalkan S adalah subgrup dari (G; o)

Misalkan anggota dari S adalah h₁, h₂, h₃, ...., yang semuanya berlainan.

Jika a ϵ G dan a  S, maka anggota dan koset kanan Sa adalah h₁oa, h₂oa, h₃oa, ....., yang semuanya berlainan pula. Sebab jika ada anggota dalam Sa yang sama, yaitu h_i o a = h_j o a dengan sifat ... diperoleh h_i = h_j. Hal ini tidak mungkin karena anggota dari S semuanya berlainan begitu pula anggota dari koset kanan Sa tidak ada yang sama dengan anggota dari S. Sebab andaikan ada yang sama, misalkan h_i o a = h_j o a dengan h_i, h_j ϵ S, yang berarti:

h_i^-1o (h_i o a)           =          h_i^-1 o h_j

(h_i^-1o (h_i) o a         =          h_i^-1 o h_j

(i o a)                    =          h_i^-1 o h_j

  a                         =          h_i^-1 o h_j

     S suatu subgrup maka S suatu grup. Sehingga, apabila h_j ϵ S maka h_i^-1 ϵ S pula. H_i o h_i^-1 ϵ S ...(h_i o h_i^-1)  S (karena sifat tertutup). Karena a = h_i^-1o h_i maka a ϵ S.

Hal ini pun tidak mungkin sebab tadi mengambil a ϵ G dengan a ϵ S.

Sekarang ambil b ϵ G dengan b = a, dan b ϵ S. Maka anggota dari koset kanan S dalam G adalah b ϵ G, yaitu Sb, adalah h₁ o b, h₂ o b, h₃ o b, ..... Tentu anda dapat menunjukkan bahwa anggota .... dalam Sb ini tidak ada yang sama. Begitu pula anggota dari Sb tidak ada yang sama dengan anggota dari S

Peryataan ini dapat ditunjukkan melalui contoh 3, yaitu S = {i, c}.

1.      Jika i ϵ S dan c ϵ S maka Si = S dan Sc = S

2.      Jika a  S dan b  S maka Sa  S dan Sb  S.

Untuk memahami sifat – sifat koset, perlu anda perhatikan bahwa (Sa)a^-1 = Si = S dan (Sb)b^-1 = Si = S.

Dalam contoh 3 diketahui bahwa a dan b saling invers, yaitu a^-1 = b dan b^-1 = a Ambil                         Sa = {a, d} dan Sa = {b, e}.

(Sa)a^-1 = (Sa)b = {ab, ad} = {i, c} = S

(Sb)b^-1 = (Sb)a = {ba, ca} = {i, c} = S

2.     Sifa-Sifat Koset

v  Teorema 7.1

jika S adalah subgrup dari grup G, dan a ϵ S, maka Sa = S

Bukti :

Sa adalah koset kana dari S, yang anggotanya adalah hasil kali anggota S dan a, dari kanan.

Karena S adalah subgrup yang memenuhi sifat tertutup, dan a ϵ S, maka hasil kali setiap anggota S dengan a merupakan anggota S pula.

Jadi Sa  S. Karena a ϵ S maka a^-1 ϵ S. Jadi S = {(Sa^-1) a/s ϵ S}  Sa

Jadi Sa = S

v  Teorema 7.2

Jika G adalah grup dan S adalah subgrup dari G, maka Sa = Sb jika dan hanya jika ab^-1 ϵ S

Bukti :

1.      Akan dibuktikan : Sa = Sb  ab^-1 ϵ S

Misalkan Sa = Sb

Maka   (Sa)b^-1 = (Sb)b^-1

                Sab^-1 = Si

            Sab^-1 = S . karena i ϵ S, maka ab^-1 = i (ab^-1) ϵ S

                                    Jadi Sa = Sb  ab^-1 ϵ S.

2.      Akan dibuktikan ab-1 ϵ S  Sa = Sb

Misalkan ab-1 ϵ S.Menurut teorema di atas Sab^-1 = S

Maka   (Sab^-1)b = Sb

(Sa)(b^-1b)Sb

Sai = Sb

Sa = Sb

Jadi ab-1 ϵ S  Sa= Sb

Dari (1) dan (2) di peroleh Sa = Sb  ab^-1 ϵ S.

v  Teorema 7.3

Jika S adalah subgrup dari grup G, maka b ϵ Sa jika dan hanya jika Sa = Sb. Bukti :          

1. Akan dibuktikan b ϵ Sa  Sa = Sb

                            Dapat dilakukan dengan dua cara.

·         Cara 1.

                                    a ϵ Sb  ab^-1 ϵ Sbb^-1 atau ab^-1 ϵ S

                                    menurut teorema

                                    ab^-1 ϵ S         Sab^-1 = S

                                                Sab^-1b = Sb

                                                Sai = Sb

                                                Sa = Sb

·         Cara 2.

Misalnya b ϵ Sa. Maka b = s_j . a untuk suatu s_j ϵ S

                                                b a^-1 = (s_j a ) a^-1

                                                b a^-1 = s_j (a a^-1)

                                                b a^-1 = s_j i

                                                b a-¹ = s_j,

                                                maka b a^-1 ϵ S  menurut teorema, jika b a^-1 ϵ S maka Sa = Sb

2. Akan dibuktikan Sa = Sb  b ϵ Sa.

·         Cara 1

b ϵ Sa           ba^-1 ϵ Saa^-1

ba^-1 ϵ S

menurut teorema         Sba^-1 = S

Sba^-1a = Sa

Sbi = Sa

Sb = Sa  Atau             Sa = Sb

·         Cara 2

b ϵ Sb, sebab S memuat i sehingga ib = b

b ϵ Sb dan Sa = Sb. Maka b ϵ Sa

jadi Sa = Sb  b ϵ Sa

dari (1) dan (2) diperoleh b ϵ Sa  Sa = Sb

C.    TEOREMA LAGRANGE

            Jika G suatu grup berhingga dan S adalah subgrup dari G, maka order dari S membagi habis order dari G (ditulis n (S) | n (G) ).

Bukti :

            Misalkan G adalah suatu grup berhingga dengan order m, dan S merupakan subgrup dari G dengan order k. Jadi G mempunyai tepat m buah anggota berlainan dan S mempunyai tepat k buah anggota berlainan.

Buatlah koset kanan dari S dalam G

·         Menurut teorema.

1.      G = Sa

2.      a, b ϵ G berlaku Sa  Sb =  atau Sa = Sb

Karena S berhingga dan   a, b ϵ S berlaku Sa  Sb, maka banyaknya anggota Sa = banyaknya anggota Sb. Demikian pula S  Sa. Jadi n (Sa) =  n (Sb) =  n (S) = k.

Apabila banyaknya koset kanan yang terbentuk  l buah maka m = l.k.

Berarti k faktor dari m atau m habis dibagi oleh k, dan di tulis k | m.

Jadi n (S) | n (G).

Definisi 7.2

Jika G suatu grup dan S adalah subgrup dari G, maka yang disebut indeks dari S dalam G adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari S dalam G, dan ditulis i_G(S). Jika G suatu grup berhingga, maka i_G(S) =

Contoh :

T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, } dengan operasi perkalian modulo 7 membentuk suatu grup.

S = { 1, 2, 4 } dan D = { 1, 6 } terhadapa operasi perkalian modulo 7 merupakan subgrup dari T

Koset - koset kanan dari S dalam T adalah S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆ dengan S₁ = S₂ = S₄ = S dan

S₃ = { 1.3, 2.3, 4.3 } = { 3, 6, 5 }

S₅ = { 1.5, 2.5, 4.5 } = { 5, 3, 6 }

S₆ = { 1.6, 2.6, 4.6 } = { 6, 5, 3 } . maka S₃ = S₅ = S₆

Jadi banyaknya koset kanan S dalam G ada 2 atau i_G (S) = 2. Nampak bahwa n(S) = 3 dan n (T) = 6, sehingga i_T(S) = 

v  Teorema 7.9

                        Jika G suatu grup berhingga dan a ϵ G, maka p(a) | n(G), yatu periode a    membagi habis order dari G.

Bukti :

Misalkan G suatu grup berhingga dengan order atau tingkat m. Maka m(G) = m

Ambil a ϵ G

Jika a = i maka p(i) = 1, dan 1 membagi habis m. Jadi p(a) | n(G)

Jika a  i, buatlah grup siklik generator a

 Misalkan p(a) = k, maka a^k = i dan misalkan himpunan perpangkatan a adalah S = { a, a², a³, ..., a^k-1, a^k = i}. S adalah suatu grup siklik dengan generator a dan merupakan subgrup dari G. Order S yaitu n(S) = k, sebab semua anggota dari S berlainan.

Menurut teorema Lagrange n(S) | n(G) atau k | m. Dengan k = p(a).

Jadi p(a) | n(G).

v  Teorema 7.10

                        Jika G suatu grup berhingga yang berorder bilangan prima maka G merupakan grup siklik.

Bukti :

Misalkan n(G) = m dengan m suatu bilangan prima. Maka pembagi dari m hanyalah 1 dan m saja. Sehingga G tidak mempunyai subgrup sejati. Ambil a ϵ G dan a  i, maka himpunan perpangkatan a yaitu S = { a, a², a³, .... ,a^w = i } merupakan subgrup dari G. Karena G tidak mempunyai subgrup dan a  i, maka S = G. Karena S suatu grup siklik maka G merupakan grup siklik pula.

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Grup Siklik adalah suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan dari setiap unsur tetap pada grup tersebut.

Definisikan anggota grup siklik, yaitu :

·         Terhadap perkalian

Grup  (G,  .)  disebut  siklik,  bila  ada  elemen  a  ∈  G  sedemikian  hingga

G ={aⁿ| n ∈ Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Dinotasikan <a> = H

·         Terhadap penjumlahan

Grup  (G,+)  disebut  siklik,  bila  ada  elemen  a  ∈  G  sedemikian  hingga G={na | n ∈ Z}.Jadi, dalam bahasa indonesianya, grup siklik adalah  suatu  orde  dari suatu  grup  yang  setiap  unsurnya  dapat  ditulis  sebagai  perpangkatan (positif  atau  negetif)  atau  perkalian dari    suatu  unsur  tetap  dari  Grup tersebut, dengan kata lain grup siklik adalah grup yang dibangun oleh satu unsur.

a.       Definisi Koset, Jika H suatu subgrup dari grup (G;o) dan a ϵ G maka Ha = {h.a | h ϵ H} disebut koset kanan dari H dalam G, sedangkan aH = {a.H | h ϵ H} disebut koset kiri dari H dalam G.

b.       Terdapat 7 sifat – sifat koset.

c.       Teorema Lagrange. Jika Gsuat grup berhingga dan S adalah sugrup dari G, maka n(S) | n(G), yaiyu order dari S membagi habis order dari G.

Saran

Makalah ini masih memiliki banyak kekurangan maka dari itu saran yang membangun untuk makalah ini sangat diperlukan.

Hendaknya  pembaca tidak sekedar mampu mengetahui dan mengaplikasikan Grup Siklik, Teorema Koset dan teorema lagrange dalam Struktur Aljabar tapi mereka harus mengetahui tentang bagaimana proses ditemukannya atau dalam artian sejarahnya.

DAFTAR PUSTAKA

Abdullah, Juniati dkk. “Koset Dan Teorema Lagrance “. 2010.

Tahmir, Suradi. 2004. “Teori Grup”. Makassar: Andira Publisher.http://www.linkpdf.com/ebookviewer.php?url=http:/elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/pengantar struktur diskrit/bab2-grup dan semigrup.pdf. (28 april 2011).